1-0,9infini=0 alors 1=0,9infini ?!
- Auteur du sujet Etoile
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Si malheureusement c'est vrai. J'ai pris des cours de maths particulier parce que ça me pétait le cerveau cette histoire.
La réponse courte, c'est que 0.99(9)... est strictement égal à 1. Il existe plusieurs raisonnement derrière ça. Je ne les approuve pas mais les voici :
Les nombres à virgule sont une invention des maths récente. Mais ne sont pas un outil rigoureux. Ils sont avant tout une représentation imparfaite. La représentation parfaite est plutôt basé sur les divisions fractions par exemple 1/3. C'est la bonne représentation. Et 0.33(3)... n'est qu'une représentation imparfaite.
Une autre justification c'est que 0.00(0)...1 n'existe pas à proprement. Car c'est infiniment petit. 1/infini = 0. Mais cette explication me convient encore moins. Mais c'est ainsi que les maths contemporain le voient en tout cas
La réponse courte, c'est que 0.99(9)... est strictement égal à 1. Il existe plusieurs raisonnement derrière ça. Je ne les approuve pas mais les voici :
Les nombres à virgule sont une invention des maths récente. Mais ne sont pas un outil rigoureux. Ils sont avant tout une représentation imparfaite. La représentation parfaite est plutôt basé sur les divisions fractions par exemple 1/3. C'est la bonne représentation. Et 0.33(3)... n'est qu'une représentation imparfaite.
Une autre justification c'est que 0.00(0)...1 n'existe pas à proprement. Car c'est infiniment petit. 1/infini = 0. Mais cette explication me convient encore moins. Mais c'est ainsi que les maths contemporain le voient en tout cas
Le truc c'est que si...ça s'appelle le deceloppement impropre à 1 et c'est trop bizarre..
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Non, c'est moi qui le dit TwT. Ma prof ignore systematiquement mes questions parce que (je cite) "On voit ça plus tard dans le programme"
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Non, c'est moi qui le dit TwT. Ma prof ignore systematiquement mes questions parce que (je cite) "On voit ça plus tard dans le programme"
D'accord...t'as de la chance. Moi on me dit qu'il faut que je sois plus normale et que faut pas que je prenne de lavance.
Merci pour cette réponse ! En conclusion, les maths c'est un peu n'importe quoi quoi TwT.
C'est une bonne question, pas si simple en fait. Il faut bien distinguer la manière dont on écrit un nombre et sa valeur.
En effet 1 et 0,9999... sont deux notations du même nombre. De la même manière que 0,3333.... et 1/3 et 2/6, par exemple. Ou encore 3 et 3,00.
Il y a plusieurs manières de démontrer cette égalité. Par exemple on peut appeler X le nombre 0,9999.
On a alors 10 X = 9,9999....
10 X = 9 + 0,9999....
10 X = 9 + X
9 X = 9
X = 1
Intuitivement ce résultat n'est pas si étonnant. Dans 9,999...., si tu continues la suite des 9 à l'infini, que peut valoir la différence entre 1 et ce nombre ? Dans ce sens là c'est je pense assez facile à saisir : si la différence était non nulle, il y aurait forcément un moment où on aurait autre chose que des 9 dans la suite des décimales.. Puisque la suite des 9 est infinie, il n'y a la place pour rien... c'est-à-dire que la différence vaut zéro.
Du coup écrire 3,1999... ou 3,2 c'est aussi la même chose.
Les maths c'est pas tout à fait n'importe quoi ;-)
Oui, je sais mais donc d'après ça alors 1=0,9infini donc 1+1≠ 2. C'est la que ça devient n'importe quoi XD.
Non non c'est très cohérent :
1+1=2
1+1=1,99999...
Les deux sont vrais. 1 et 0,999... sont deux écritures du même nombre, mais 2 et 1,999... sont également deux écritures du même nombre.
4,999... c'est égal à 5 de la même manière.
Ce que tu dis est vrai officiellement, mais moi je trouve pas ça logique. Car 0.999... + 0.999... devrait être égal à 1.99(9)...8 selon moi.
Et de la même manière l'équation de démonstration devrait être :
x = 0.999...
On multiplie tout par 10
10x = 9.99(9)...0
Et pas
10x = 9.99(9)...9
Car quand on multiplie par 10 y a toujours un 0 qui s'invite à la fin. Et donc on ne peut pas faire la simplification :
-x de chaque côté qui donnerait
9x = 9
Car ça donnerait en réalité :
9x = 8.99(9)...1
L'incohérence vient à mon avis du fait de commencer le calcul par la gauche et de jamais converger. Alors qu'il faudrait le commencer par la droite.
Cette incohérence de "tkt, vu que c'est à l'infini on atteind jamais l'autre bout du calcul" est évidente si on prends la chose par la droite.
Imagine le chiffre ...(9)99 + 1 :
Tu commences par le 1er chiffres 9+1 = 0 et 1 en retenue, tu propages la retenue 9+1 = 0 etc
Donc ...(9)99 + 1 serait égal à ...000 car la retenue ne serait jamais appliquée au dernier chiffre parce qu'il n'est jamais atteint ? Ça me paraît illogiques. Pour moi la véritable réponse serait 1...(0)00.
Il existerait alors une idée de "poignée" des emplacements fixe par rapport à l'infini. La poignée à droite et celle à gauche. Et pourquoi pas au milieu.
C'est déjà le cas. Il y a une infinité de nombres entre 0 et 1. Et pourtant on dit pas que 1 n'existe pas parce qu'on l'atteindra jamais
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Je suis d'accord +_+
0.99(9). + 0.99(9)...
Devrait être égal à
1.99(9)...8
Dernière édition:
On peut démontrer que ce que tu écris est faux par l'absurde. Supposons qu'il y ait un 8 dans le résultat de l'addition :
0,9...9...
0,9...9...
1,9...8...
Imaginons qu'il soit en position n. Ce n'est possible que s'il n'y a pas de 9 en position n+1 car sinon il y a une retenue et on a bien un 9 en position n :
0,9...99...
0,9...99...
1,9...9...
Contradiction donc avec l'hypothèse d'une suite infinie de 9.
Certes mais ici il n'y a pas de fin ! La suite de décimales est infinie.
Tu ne peux pas comparer à un entier, qui lui a un premier chiffre dans la "colonne des unités".
Par exemple 3,12 X 10 = 31,2. Il n'y a pas de zéro qui s'invite, ou alors c'est juste par convention d'écriture, mais il n'est pas nécessaire. Et si je multiplie le nombre π par 10, il n'y a pas de zéro à la fin du tout.
9 et 8,999.... c'est le même nombre. En revanche quand on lui enlève X cela ne donne pas 8,999(9)...1. Je ne vois pas d'où sortirait ce 1.
Tu ne peux pas commencer par la droite parce qu'il n'y a pas de dernière décimale. Il y a une infinité de décimales.
Sur ce dernier point, je ne dis pas que le 1 n'existe pas parce qu'on ne l'atteindra jamais, ou quoi que ce soit dans le genre, mais que 1 et 0,999.... c'est le même nombre, deux écritures qui ont la même valeur, deux notations d'un même entier.
Toujours pas, pour la raison exposée ci-dessus : tu supposes une fin aux décimales.
Non il est en dernière position. Pas en position N. C'est absurde de penser qu'il est en position N d'autant plus que N ne serait pas un entier car tout entier est fini. Or ici ce serait la dernière position. Donc un chiffre infini. Et ce n'est pas non plus absurde de penser qu'il se situe à la fin de l'infini car si tu enumeres tout les chiffres compris entre 0 et 1, le chiffre 1 se trouve à la fin de cette collection infinie de nombres. Donc c'est effectivement quelque chose qui existe et qu'in tolère. D'où l'idée d'appeler ça des poignées.
Même combat, il existe déjà un exemple de situation où il y a une chose à la fini d'une collection d'éléments infinis
Pourquoi on pourrait pas comparer ? On est en train de parler d'une règle qui concerne l'écriture d'un chiffre. Tant que cette règle est descriptive et cohérente tout va bien. Ici ce qui est incohérent c'est de ne pas suivre cette règle.
Si 0.9+0.9=1.8
Si 0.99+0.99=1.98
Si 0.999+0.999=1.998
Si 0.9999+0.9999=1.9998
On voit de façon évidente que la règle c'est toujours un 8 à la fin. Donc c'est cohérent de garder ce 8 même après les infinis
Pourtant il doit être dans une position entière, puisque le rang d'une décimale est un entier ! Et il ne t'a pas échappé que la suite des décimales d'un entier n'a pas de fin.
Mais attention, l'écriture d'un entier peut se faire sous différentes formes : 2 c'est 2,0 ou 2,00 ou 4/2 ou 1,999... ou 4/2.
Un entier n'est pas "fini" : certes son écriture décimale peut utiliser un nombre fini de chiffres, mais aussi un nombre infini de chiffres (2,0000...) ou encore d'autres formes (4/2). La manière de l'écrire est conventionnelle et l'une ne vaut pas plus que l'autre.
Si l'on choisit d'écrire 0,999... avec un nombre infini de 9 il n'y a pas de dernière position. Quelle que soit la dernière position que tu imagines, il y a encore des 9 derrière.
C'est comme si tu disais "je considère le dernier entier". Il n'y en a pas. La suite des entiers est infinie. Idem ici avec la suite des décimales, elle est infinie. Pas de dernière décimale.
Si tu prends deux nombres entre 0 et 1, par exemple 0,56 et 0,57, il y a entre ces deux nombres un nombre infini d'autres nombres, comme 0,566677577 et 0,5698998899899891. On ne peut donc pas les énumérer ni les citer à la suite.
L'infini de subdivision est compatible avec la notion d'entiers. C'est un vieux paradoxe : par exemple une flèche tirée vers une cible va déjà faire 1/2 puis 1/2 de son parcours. Mais donc déjà 1/8, mais donc déjà 1/16. Est-ce à dire qu'elle n'arrive jamais ? Si bien sûr, car la somme de toutes ces fractions fait 1, aussi petites qu'on les prenne.
Ce que tu évoques s'appelle une borne. Oui 1 est la borne d'un ensemble infini de nombres entre 0 et 1. Toute suite croissante de nombres entre 0 et 1 aura bien 1 comme borne supérieure.
Mais il existe des suites non bornées, comme l'ensemble des nombre entiers. Ici le nombre de décimales de 0,9999... n'est pas borné. Il est infini.
Il n'y a rien après un infini. Si tu supposes qu'il y a un quelque chose, dis-moi à quelle position il est. Impossible ? Donc il n'y a rien. Il y a une contradiction entre "suite infinie" et "dernière position". Encore une fois, tu t'en rendrais compte en disant "je prends le dernier entier". Il n'existe pas.
Si on fait de l'analyse hyperréel, on peut se permettre de concevoir l'existence d'infinitésimaux non nuls.
Alors, a notre infinitésimal est compris entre 0 et r pour tout réel positif r
0 < a < r
De ce fait, il est juste d'admettre que 0,999999... = 1 - a
Dans ce système hyperréel, 0,9999... et 1 sont distincts, mais indiscernables.
Toutefois, en analyse standard, puisque l'écart entre 0,99999... et 1 n'admet pas infinitésimal non nul, on retrouve bien 0,99999... = 1
(Mais bon, vive les hyperréels)
Alors, a notre infinitésimal est compris entre 0 et r pour tout réel positif r
0 < a < r
De ce fait, il est juste d'admettre que 0,999999... = 1 - a
Dans ce système hyperréel, 0,9999... et 1 sont distincts, mais indiscernables.
Toutefois, en analyse standard, puisque l'écart entre 0,99999... et 1 n'admet pas infinitésimal non nul, on retrouve bien 0,99999... = 1
(Mais bon, vive les hyperréels)
Ben si, et selon tes propres mots on appelle ça une borne. La borne 1 est à la position infini + 1 par exemple. Et la borne 2 est à la position 2 infinis + 1.
En fait, si tu listes tout les nombres, que tu les mets dans une collection d'objets numérotés, tu vois bien factuellement que c'est possible. Et la difficulté à numeroter ces éléments vient justement du fais qu'on veut absolument dire que l'infini y a rien après alors que si. Et il serait temps de théoriser ça correctement et de ne pas accepter des absurdité. En fait selon moi le problème vient du fait que la nature de l'infini change selon le contexte. L'infini en tant que "limite" est englobant. Et donc c'est absurde de quantifier cet infini. Il ne représente que l'asbence de fin. Ce n'est donc pas un chiffre, mais plutot le constat d'un accroissement de la quantité d'objets d'une collection. Or quand on cherche à un faire un chiffre, c'est là qu'il est mal défini et qu'on ne devrait pas le confondre avec la limite. Si on le fait, on se retrouve à dire des aneries. Par exemple si on enumère le nombre d'élements compris entre 0 et 1, et ceux entre 0 et 2, c'est évident qu'il y en a plus entre 0 et 2. Et pourtant l'aspect englobant de la limite efface cette réalité
Non ? Pourquoi tu assumes ça ? Un entier est fini. C'est comme si tu me disais "je dois utiliser la clé de ma voiture pour ouvrir la porte de ma maison, mais tu vois bien que la porte de ma maison ne s'ouvre pas. Parce que la porte de ma maison ne peut etre ouverte". Justement, arrête d'utiliser le mauvais type d'objet et tu seras capable de débloquer la situation. Un entier est fini par définition. Le chiffre 9999999.... composé de 10 milliards de neuf est compris dans les entiers. Mais le chiffre 111... d'une infinité de 1 n'en fais pas partie. A vrai dire, il n'existe officiellement aucun ensemble à ma connaissance pour inclure ces nombres là. Pourtant les ensembles naissent justement du constat d'un manque en math.
Les nombres à virgules sont déjà une 1ere initiative qui envisage la possibilité qu'un nombre puisse être composé d'une infinité de chiffres. Mais ce n'est que sur la droite. Envisageons un nouvel ensemble qui autorise une infinité de chiffres sur la gauche désormais. Et ça règlera bien des soucis
Si, de la meme manière que la borne 1 est la dernière position après tooooouuute la collection de nombres entre 0 et 1. Et pourtant, tu ne peux pas lui attribuer un index. Car il faudrait pour ça un nombre non entier, un nombre infini. Un nombre qui maintiendrait la notion d'ordre croissant. Qui permettrait de rester cohérent avec le fait que 1, c'est après 0 et avant 2. De cette idée nait le besoin d'envisager de définir et d'accepter les -disons- nombre entiers absolus notés A
Ce qu'il faut bien comprendre conceptuellement, c'est que l'infini est la description de comment un ensemble s'étend. L'expansion d'une collection d'objet se fait à partir d'une borne, et potentiellement jusqu'à une autre borne. Souvent à l'aide d'un operateur. Les entiers produisent une expansion de 0 en direction de +inf grâce à la formule x+1, de 0 en direction de -inf grace à la formule x-1. La borne 0 et 1 produisent une expansion vers l'autre.
C'est aujourdhui officiellement impossible car on a pas créé l'outil pour. Il ne tiens qu'à nous de rajouter ce qu'il manque
Les maths, c'est une construction. Cela part d'axiomes et de logique et se construit par démonstrations. Libre à toi d'imaginer d'autres axiomes, d'autres conventions et de construire ton propre univers. Mais celui qui est utilisé couramment est plus cohérent que ce que tu affirmes.
Non : on démontre qu'il n'existe pas de bijection entre l'ensemble des entiers et celui des réels (pas de correspondance un à un). On dit que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.
Dans la définition standard, un ensemble est infini s'il existe une bijection entre lui et une de ses parties strictes. L'ensemble des entiers est infini, par exemple, cela se démontre. Je ne vois pas ce que tu veux mettre "après l'infini", si tu peux l'expliciter dans le cas des entiers par exemple cela aiderait à comprendre ton raisonnement.
C'est tout à fait cohérent, au contraire. Quelle absurdité ou contradiction vois-tu ?
Ce n'est pas de cette manière que c'est défini mathématiquement, mais en effet l'infini correspond couramment à une limite, par exemple pour la croissance d'une suite ou d'une fonction.
Un entier est fini, oui, mais son écriture n'utilise pas forcément un nombre fini de décimales. Il faut distinguer le nombre de son écriture. Seul le nombre est entier. L'écriture peut prendre différentes formes, comme pi/pi pour 1.
Tu peux parfaitement définir cet ensemble et lui donner un nom si tu veux.
Un nombre qui peut S'ECRIRE avec une infinité de chiffres. C'est une convention d'écriture. Le nombre 0,999... c'est 1. Ce n'est qu'une de ses écritures.
Tu peux créer cet ensemble, mais il ne change rien au fait que 1 = 0,999...
Non, voir définition standard.
Ce n'est pas une question d'outils mais de définitions et d'axiomes. Si tu veux que 1 ne soit pas égal à 0,999... il faut modifier des axiomes ou définitions standards.
Non : on démontre qu'il n'existe pas de bijection entre l'ensemble des entiers et celui des réels (pas de correspondance un à un). On dit que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.
Dans la définition standard, un ensemble est infini s'il existe une bijection entre lui et une de ses parties strictes. L'ensemble des entiers est infini, par exemple, cela se démontre. Je ne vois pas ce que tu veux mettre "après l'infini", si tu peux l'expliciter dans le cas des entiers par exemple cela aiderait à comprendre ton raisonnement.
C'est tout à fait cohérent, au contraire. Quelle absurdité ou contradiction vois-tu ?
Ce n'est pas de cette manière que c'est défini mathématiquement, mais en effet l'infini correspond couramment à une limite, par exemple pour la croissance d'une suite ou d'une fonction.
Ce que tu évoques est la notion de cardinalité. Les deux ensembles que tu décris ont la même cardinalité, c'est-à-dire qu'il y a une bijection entre chacun de leurs éléments. A chaque fois que tu prends un nombre entre 0 et 2, tu peux lui associer un nombre entre 0 et 1 (par exemple sa moitié). On ne peut donc pas dire qu'il y a plus d'éléments dans un de ces intervalles que dans l'autre. (Ou bien il faudrait définir comment tu entends les compter, car je ne vois pas de notion mathématique correspondante).
Un entier est fini, oui, mais son écriture n'utilise pas forcément un nombre fini de décimales. Il faut distinguer le nombre de son écriture. Seul le nombre est entier. L'écriture peut prendre différentes formes, comme pi/pi pour 1.
Tu peux parfaitement définir cet ensemble et lui donner un nom si tu veux.
Un nombre qui peut S'ECRIRE avec une infinité de chiffres. C'est une convention d'écriture. Le nombre 0,999... c'est 1. Ce n'est qu'une de ses écritures.
Tu peux créer cet ensemble, mais il ne change rien au fait que 1 = 0,999...
On ne peut pas lui attribuer d'index parce que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. On dit que les réels et les entiers ne sont pas équipotents. Il n'existe pas de bijection entre eux. Tu ne peux pas faire correspondre un entier à chaque réel. Cela se démontre.
Non, voir définition standard.
Ce n'est pas une question d'outils mais de définitions et d'axiomes. Si tu veux que 1 ne soit pas égal à 0,999... il faut modifier des axiomes ou définitions standards.
Si tu parles de la démonstration de cantor elle tiens pas la route pour la meme raison qu'énoncé plus haut sur l'exemple de la virgule flottante : repousser le problème à plus tard n'est pas une démonstration valide. 999... + 1 n'est pas égal à 0. Et dire qu'on peut créer un nouvel element qui n'est pas inclu dans l'ensemble alors que cet element existe plus tard n'est pas davantage valide
Yes. Mais justement ce n'est le cas officiellement que parce qu'on définit mal la notion d'infini. En réalité ça ne peut pas une réelle bijection. Encore une fois on se sert de la proprité englobante de l'infini en tant que limite pour repousser le problème à plus tard
Ici ça va au delà de la convention. Car on ajoute un concept. Ce n'est pas juste renommer un truc qui existe déjà. C'est ajouter un plugin
Yes, la démonstration de Cantor
Pas nécessairement. Ici il faut étendre les outils. Quand on a créé l'ensemble des imaginaires, on a pas contredit tout les maths. On les as étendu en ouvrant une voie supplémentaire.
Mais ta réponse me frustre un peu, car tu ne réponds pas vraiment à mes arguments conceptuel. Notamment, celui sur les bornes. Le 1 existe alors qu'il est précédé d'une infinité de nombre avant lui. Et le 0 aussi. On a donc conceptuellement une borne, une infinité de nombres, une autre borne. Cette situation existe déjà. C'est un fait. Donc ça prouve qu'il n'est pas absurde d'envisager cette situation, et de décrire le nombre 0.99(9)....8, 0.99(9)....7, 0.99(9)....6 etc En fait on pourrait meme considérer le nombre 0.(9)(8)(7)
Je ne comprends pas cet argument. La démonstration est valide par rapport aux définitions posées. Tu ne peux pas établir de bijection entre les naturels et réels. Or tu supposes l'existence d'une telle bijection. Où est l'erreur de Cantor ? Sinon que veux-tu changer aux axiomes des maths actuelles d'où découle sa démonstration ?
Je ne saisis pas bien le rapport.
Tu peux définir des nouveaux éléments mathématiques si tu veux, mais ils ne peuvent pas être à la fois inclus et non inclus dans le même ensemble.
Je ne vois pas où est le problème.
Non, c'est une convention d'écriture. On peut tout à fait se passer de ces écritures décimales. On les utilise par commodité. Par exemple on écrit 0,333... à la place d'un tiers. Du coup on se pose des questions sur 0,999.... qui est le triple. Mais on pourrait rester en écriture rationnelle ici.
Yep
Certes, mais que proposes-tu au juste ?
Il faudrait que tu définisses ce que tu appelles une borne ici. Les entiers ? En effet entre chaque entier il y a une infinité de réels. Mais je ne vois pas le rapport avec ta proposition. Attention aux conventions d'écritures. 0,99.....7 comment le définis-tu ? Sjuivant les conventions d'écriture décimale le chiffre 7 doit avoir une position entière précise, tu es donc en train d'inventer autre chose. C'est un réel ? Il n'a pas d'écriture décimale ? Comment définis-tu sa valeur au delà de cette convention d'écriture ?
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Tu te fais piéger par les conventions d'écriture.
0,333.... on sait ce que c'est, c'est pour cela qu'on se permet cette écriture (que les matheux n'aiment pas tellement, d'ailleurs).
0,999... aussi, c'est 1.
Cela ne veut pas dire qu'on peut écrire n'importe quoi qui a la même forme tout en lui conservant une valeur mathématique.
Par exemple sur mon clavier je peux écrire 0,000.... 1, (que tu écrirais 0,(0)...1 et affirmer que c'est 0 avec une virgule, une infinité de zéro et un 1 après cette infinité. Sauf que ce n'est pas une écriture valide, ce n'est pas un objet correctement défini mathématiquement et que je suis incapable de lui donner une valeur comme réel et encore moins de lui appliquer des propriétés comme une simple addition.
C'est comme si je disais "soit A le point à la fin de la droite" : je peux l'écrire mais ça n'est pas une définition mathématique correcte d'un point. Il ne suffit pas d'écrire pour définir.
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